확률적 사고수준(Shaughnessy, 쇼네시)와 표본공간에 대한 개념발달(Jones et al, 존스 외)

확률적 사고수준

 

<기본 입장>

 확률적 사고는 비확률적 사고, 원시 확률적 사고, 발생 단계의 확률적 사고, 실제적인 확률적 사고라는 네 가지 수준을 거쳐 발달한다. 하지만 네 가지 수준은 반드시 선형적이고, 배타적으로 존재하는 것이 아니다.

 

 

<사고 수준>

①비확률적 사고

 수학적 판단이 아니라 신념에 근거하여 판단하거나 단일한 결과만을 예측하고 확인한다.

 우연 현상이나 무작위 사건에 대해 주목하지 않고, 주목한다해고 잘 이해하지 못한다.

 

②원시 확률적 사고

 판단 전략을 초보적이고 직관적으로 사용하는 수준

 과거 경험에 기초하여 판단하고, 우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해한다.

 

④발생 단계의 확률적 사고

 간단한 문제 상황에서 수학적 확률이나 통계적 확률 개념을 적용하는 단계.

 신념과 수학적 모델 간에는 차이가 있음을 인지

 확률 교육을 받은 초기 단계에 도달한 수준

 

④실제적인 확률적 사고

 우연에 대한 여러 수학적인 관점(통계적 확률, 수학적 확률 등)의 이해, 그들 사이의 차이점을 알고 적절하게 적용하는 능력을 소유

 불확실한 상황에서 판단할 때, 수학적인 확률 개념을 적용하고 그 판단의 전제조건과 제한점도 이해하는 수준 

 

 

<참고>

 쇼네시는 학자들이나 대학원생들조차도 어떤 경우에는 원시 확률적으로 생각하다가 어떤 경우에는 발생 단계의 확률적 사고를 하는 것을 확인하였다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

표본공간에 대한 개념 발달

 

<기본입장>

 쇼네시의 연구를 더 발전시켜 확률적 사고 발달 수준을 좀 더 구체화 하였다. 이 수준 역시 반드시 선형적이고 배타적으로 발달하지는 않으며, 한 아동에게서도 개념에 따라 서로 다른 수준이 발견될 수 있다.

 확률은 어떤 실험 또는 시행에서 모든 가능한 결과 집합인 표본공간을 구하고, 그 부분집합을 사건으로 할 때, 각 사건이 일어날 가능성의 크기를 중심으로 논의된다. 동전을 1회 던지는 실험에서 표본공간은 앞면과 뒷면으로 이루어지는 것을 가장 먼저 알아야하는 것처럼 표본공간에 대한 개념의 발달은 확률에 큰 영향을 준다.

 

 

 

 

<표본공간의 발달 수준>

개념 수준(1~4)	각 수준별 판단 준거
주관적 사고	단순한 사건의 경우를 불완전하게 나열
이행기	단순한 사건의 모든 경우를 나열 제한적이거나 체계적이지 않은 전략을 사용하여 복합사건의 모든 경우를 나열
비형식적 양적 사고	부분적으로 전략을 활용하여 복합사건의 모든 경우를 나열
수치적 사고	둘 또는 세 사건이 복합된 사건의 경우를 전략에 의하여 나열

 

 빨간색과 흰색 부분으로 분할된 회전판을 돌릴 때 나올 수 있는 경우를 확인하는 문제를 떠올려보자.

 1수준에 있는 학생은 두 가지 색 중에서 자신이 선호하는 빨간색만 이야기 한다.

 2수준에 있는 학생은 두 가지 색을 제대로 이야기 하지만 다양한 상황에서 체계적인 방법을 사용하여 표본공간을 찾진 못한다.

 3수준에 도달한 학생은 두 가지 색이 표본 공간을 이루는 것을 분명하게 찾고, 다른 상황에서도 부분적으로 체계적인 전략을 활용하여 가능한 모든 경우를 정확하게 찾는다.

 4수준에 도달한 학생은 두 가지 색을 제대로 이야기할 뿐 아니라, 두 가지색 부분의 넓이가 같지 않기 때문에 가능성이 동등하지는 않음을 파악한다.

 

 

 

<시사점>

 확률 교육의 주요 내용 요소에 대해 네 수준을 사전에 설정해보거나, 학생들의 학습 과정을 이 수준에 비추어 이해한다면 수업을 계획하고 진행하는 데 유용할 것이다.