핵심이론정리 - 교재연구 : 함수

○ 함수의 내용체계

 

 -중학교 내용체계(2015개정)

영역	핵심개념	내용요소
		중학교 1학년	중학교 2학년	중학교 3학년
문자와 식	함수와 그래프	·좌표평면과 그래프	·일차함수와 그래프	·이차함수와 그래프
			·일차함수와 일차방정식의 관계

 -고등학교 내용체계(2015개정)

영역	핵심 개념	내용 요소
함수	·함수와 그래프	·함수 ·유리함수와 무리함수

 

 

○ 함수 개념의 역사적 발달

①전 함수 단계(=원시적 함수 단계)

 -함수가 무엇인가에 대한 논의는 이루어지지 않았다.

 -천체운동을 관찰하기 위해 함수표를 사용

 -바빌로니아 : 주기함수 중 지그재그함수, 경사의 측도와 그림자 길이로서 탄젠트 도입

 -그리스 : 천체운동을 삼각함수로 기술, 구면삼각형의 사인정리, 사인과 현 사이의 관계를 다룸, 함수를 비례관계로 기술

 

 

②기하적 함수 단계(오렘Oresme, 갈릴레이Galilei, 카발리에리Cavalieri, 배로Barrow)

 -함수가 의식화되어 사용되고 정의되며 발달하기 시작한다.

 -운동을 그래프로 표현하고 그 결과로 나타나는 곡선들과 관련하여 시간과 거리와 같은 변량 사이의 관계로서 개념화

 -곡선과 관련된 함수 정의는 대부분 다가 대응이었다.

 -갈릴레이 : 낙하법칙(등가속도 운동의 물체가 움직인 거리는 걸린 시간의 제곱에 비례)

 -오렘 : 등가속도 운동을 나타내기 위한 방법으로서, 속도와 시간을 기준으로 한 그래프로 나타냄.(오늘날 해석학 그래프와 유사)

 

 

③대수적 함수 단계(베르누이Bernoulli, 오일러Euler)

 오일러의 주장

 -변랑 사이의 관계를 나타내는 해석적인 표현(식)을 함수라 정의

 -함수를 변수 개념에 의존하여 정의

 -여러 함수를 변수와 상수가 결합되어 있는 종류와 방식에 따라 대수함수, 초월함수, 유리함수, 무리함수 등으로 구분함

 -f(x)라는 용어를 처음 사용

 -한 변수의 다른 변수에 대한 종속 관계가 다가 대응이 되는 경우나 음함수와 같은 함수식에서 한 변수를 다른 변수로 나타낼 때 여러 개의 식이 나오게 되는 경우 등의 혼란을 막기 위해 함수를 일가 대응으로 제한함

-연속함수에서는 해석적 표현이 존재하고, 불연속 함수에서는 오일러의 해석적 표현이 존재하지 않는다고 생각

 

↓ 시간에 따른 오일러의 주장에 대한 변화

 

 -변수 개념 자체가 모호하기 때문에 함수의 정의에서 변수를 제거하려 함

 -왜? 함수는 변화와 운동과 관련하여 변하는 양의 문제를 연구하는 과정에서 발생하였지만,

       당시 수학자들은 수학을 '정적인 것'으로 생각하였기에 변수라는 개념을 제거하고 함수개념을 다루고자 하였다.

 -함수의 재정의 : '만약 어떤 양(y)이 다른 양(x)에 종속된다면 전자(y)를 후자(x)의 함수이다.'

 -푸리에 급수, 디리클레 함수의 출현으로 연속함수와 불연속함수의 정의를 재고할 필요성을 느낌.

 -이를 통해 논리적 함수개념 단계가 시작된다.

 즉, 대수적 함수 단계 까지는 종속의 개념으로, 논리적 함수 단계부터는 대응의 개념으로 함수가 정의된다.

 

④논리적 함수 단계(디리클레Dirichlet, 한켈Hankel)

 -디리클레의 함수 정의 : 주어진 구간에서 x의 각 값에 y의 유일한 값이 대응할 때 y는 x의 함수이다.

 -한켈의 함수 정의 : y가 x의 함수란 주어진 구간에서의 변수 x의 각 값에 하나의 특정한 y값이 대응할 때를 말한다.

 -이와 같이 함수를 정의하여 함수에서 볌수 개념을 없앴을 뿐만 아니라 일가성과 임의성을 강조하였다.

 일가성 : 정의역의 각 원소에 대해 치역에 단 하나의 원소가 대응된다는 조건으로 함수와 함수가 아닌 것을 구분하는 기준

 임의성 : 함수는 어떤 특별한 표현에 의해 기술되거나 또는 어떤 규칙성을 따르거나 특별한 형태를 가진 그래프에 의해 묘사될 필요가 없고 임의의 대응의 개념으로 정의 되어야 한다.

 

 

⑤집합적 함수 단계(부르바키Bourbaki)

 -엄밀한 의미의 공리론적 집합론을 기초로 함수를 정의

 함수의 정의 : 임의의 집합 사이의 임의적인 일가적 대응관계

 -데데킨트의 함수 정의 : 집합이란 말 대신 체계라는 말을 사용해 사상(mapping)개념으로 함수를 정의함

 -부르바키의 함수 정의 : 집합 E, F의 원소인 변수 x, y 사이의 관계가 만약 모든 x에 대하여 x와의 주어진 관계에 있는 y가 하나만 있다면 그 관계를 함수적 관계라 한다.

 -시사점 : 해석학의 발전에 핵심적인 역할, 함수 합성과 역이라는 조작 가능성을 부여하여 추상수학으로의 새 발전가능성 제공

 

 

 

 

○ '함수학습 관련 인식론적 장애' 및  '개념 정의와 개념 이미지의 불일치에서 비롯되는 어려움'

 

 (1) 인식론적 장애 (by 시어핀스키Sierpinski)

 -어떤 특정한 맥락에서는 적용가능하고 유용하였던 지식이 학생의 인지구조의 일부가 되었지만, 새로운 문제 상황이나 더 넓어진 문맥에서는 적용되지 않아 장애로 전락한 지식을 말한다.

 -이는 특별한 교수방법의 부족함 때문이 아니라 개념의 의미 그 자체에 기인하는 것으로 일부 사람들에게 한정된 것이 아니라 다른 문화권이나 다른 시대의 사람들에게도 발견되기도 한다.

 

 

 (2) 개념 이미지와 개념 정의의 불일치에서 비롯되는 함수 학습 과정의 어려움 (by 비너Vinner)

  -개념 정의 : 수학의 형식적인 정의

  -개념 이미지 : 개념 이름과 더불어 마음속에 연상되는 비언어적 실체

   예) "함수는 무엇인가?" → y=f(x)라는 식, 함수의 그래프, 특별한 함수(다항함수, 지수함수, 삼각함수 등) 등..

  - 학생들이 개념 정의를 말하거나 쓸 수 있다고 해서 개념의 이해를 보장하는 것은 아니다.

 

 

 (3) 함수에 대한 오개념의 예

 ① 종속변수와 독립변수를 구분하지 못한다.

  -학생들은 변화하는 현상을 관철하면서 변하는 대상이 무엇이며, 그 대상을 변하게 하는 것은 무엇인지 명확히 파악하지 못하는 경향이 있다.

 

 ② 함수의 정의에서 독립변수와 독립변수의 비대칭성을 잘 인식하지 못한다.

  -정의역과 공역을 바꿔도 성립하는 경우를 대칭성을 가진다고 한다. 일반적으로, 함수는 비대칭성을 가진다.

 

 ③ 상수함수를 함수로 받아들이지 못한다.

  -함수 값은 독립변수에 따라 변화되어야 한다는 선입관으로 인한 것이다.

 

 ④ 함수를 체계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향이 강하며, 종속변수의 값을 구하기 위해 독립변수에 실행된 조작이라고 생각하는 경향이 있다. 이러한 경향은 함수 개념을 대응으로 도입하는 경우에도 일어난다.

  -대수적 함수 단계에서 수학자들이 겪었던 어려움과 동일

 

 ⑤ 모든 정의역에서 한가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다.

  -즉, 한가지 이상의 규칙이나 대수식으로 표현된 함수들을 받아들이는 데 어려움이 있다.

  -함수의 그래프는 규칙적, 체계적이어야 하며, 갑작스런 그래프의 변화가 일어나면 함수가 아니라고 생각한다.

 → 이는 함수의 임의성을 이해하지 못한 결과로서, 진동현 문제를 반례로 들어 함수의 임의성을 경험하게 할 수 있다.

  -지도 방법 : 함수의 개념 정의를 제시하기 이전에 우리가 일반적으로 다루는 기본적인 함수 이외의 다양한 현상을 통한 함수를 다루며 함수의 임의성을 경험할 수 있도록 해야 한다.

 

⑥ 함수를 함수의 다양한 표현(표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등)과 동일시하는 경향이 있다.

  -이는 함수의 대응관계를 이해하기 어렵게 한다.

 

 ⑦ 함수에서 중요한 변수 개념을 이해하는 데 어려움이 있다.

  -역사적으로, 함수는 대상의 변화를 기술하기 위한 수단으로 발생했지만 미적분의 발달로 인해 다양한 함수를 다루게 되면서 동적인 변화의 개념은 사라지고 정적인 관계의 함수 개념이 강조되었다. 이 과정에서 가장 중요한 요인은 변수인데, 수학자들은 수학에서 변수 개념을 제거하려고 노력해왔으며, 그 과정에서 변수의 의미가 '변하는 대상'에서 '자리지기'의 개념으로 바뀌게 되었다. 이런 배경에 대한 충분한 이해 없이 변수를 다룬다는 것은 함수 이해를 어렵게 한다.

 

 ⑧ 함수의 정의에서 나타나는 일가성, 일대일 함수, 일대일 대응의 의미를 혼동하기 쉽다.

  -원인 : 함수 개념을 외부로부터 제시받았기 때문

  -방안 : 자신의 경험을 조직하는 행동을 통해 일가성의 의미를 추상해내게 해야 한다.

  -역사적으로도 함수의 정의에 '왜 일가성이 필요한가?'에 대한 수학적 이유가 있었음을 고려할 때, 학생들도 겪게 되는 동일한 어려움을 교사가 이해할 수 있어야 한다.

 

 

 

 

 

∴ 적절한 순간에 다양한 함수를 경험시켜 위의 어려움들을 극복하고 함수의 의미를 확장시켜 나갈 수 있도록 해야 한다.

 

 

 

○ 함수개념이 학교 수학에 도입된 계기

 클라인(독일, 근대화 운동)

 -함수, 공간관찰력 함양 및 김나지움에서 메란 교육과정 이수를 주장

 -함수적 사고 교육의 중요성을 강조하며 학교 수학에 함수 개념이 도입되었다.

 -함수적 사고 : 대수와 기하를 연결시켜 주고, 응용 수학을 포함하여 수학적 사고 전체의 바탕에 놓여있는 기본적이고 핵심적인 관점

 

○ 교육과정에서 함수 도입의 흐름

<대응>

 -3~6차 교육과정 : 대응 관점의 함수개념 도입 (집합 사이의 일가성을 갖는 임의적 대응관계)

 -교수학적 변환론 관점에서 문제 발생

  ①메타인지 이동 : 학습의 초점이 함수개념 자체에서 함수개념을 지도하기 위한 수단인 유한집합 사이의 인위적인 대응 관계를 나타내는 대응도로 옮겨감

  ②형식적 고착 : 함수기호 y=f(x)에 대한 형식적 고착

 

 -함수를 대응으로만 지도할 때의 문제점

 : 함수 개념 발생 초기에 중요했던 가변성과 종속성에 대한 수학적 인식과 표현의 필요성 및 의의를 생각하기 어렵다.

 그러므로 기계적으로 정의를 암기하거나 함수개념의 본질과 무관한 방식으로 다루는 일이 발생할 수 있다.

 즉, 일상생활이나 타 교과에서의 여러 현상에 내재된 함수관계를 의식하지 못하며, 함수적 안목이나 함수적 사고의 발달을 꾀할 수 없다. 뿐만 아니라 이차함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등 다양한 함수를 의미 있게 지도하기 어렵다.

 

<종속>

 -프로이덴탈에 의한 바람직한 함수 교육 (종속→대응)

  : 함수 교육은 함수로서 조직될 필요가 있는 종속적인 관련성을 갖는 학습자 주변에 있는 다양한 현실의 변화 현상으로부터 출발하여 종속 관계에 대한 심상의 구성을 바탕으로 점진적인 수학화 경험을 거쳐 최종적으로 집합 사이의 대응 관계로서 현대적인 함수개념에 이르도록 해야 한다.

 -7차 수학과 교육과정 : 정비례와 반비례의 예를 통해 함수를 파악(일차함수 개념까지 확장)

 -2007개정~2009개정 : 정비례와 반비례를 초등학교 6학년으로 하향이동

   2007개정 : 중학교 1학년 함수 도입(한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응, 종속을 바탕으로한 대응) (왜? 함수를 비례관계 맥락에서만 도입하게 되면 일차함수 및 이차함수 이해에 어려움이 따르기 때문)

   2009개정 : '정비례, 반비례 이외의 상황을 다룰 것'을 교수학습상 유의점에 명시

 -2015개정 : 정비례와 반비례를 중학교 1학년으로 상향이동, 그래프 해석 강화(중1: 그래프해석, 중2: 함수도입)

 

 

 

 

 

 

○ 함수의 여러 가지 측면

 ①종속성

 ②그래프

 ③공식

 ④행동 : 대상에 대한 반복 가능한 조작(대수식에 수나 식을 대입하여 계산하는 능력과 관련)

 ⑤과정 : 함수를 입력, 변환, 출력의 처리 과정으로 보는 것

 ⑥대응 : 디리클레

 ⑦순서쌍 : 부르바키

 ⑧대상 : 함수 자체를 하나의 실체로 파악하는 것

 

○ 그래프 지도방식

 (1) 그래프를 읽거나 그릴 때, 공간에서 초점을 어디에 두느냐에 따른 분류

  ①점별 접근 : 한 점에만 초점을 맞춤(x=1 이면 y=?)

  ②국소적 접근 : 한 점의 근방에 초점을 둠(x=1에서의 극값은?)

  ③전체적 접근 : 어떤 구간이나 전체 구간에 걸쳐 그래프를 해석(x>0에서의 증감상태는?)

 (2) 수치적 값에 초점을 두는지 그렇지 않는지에 따른 분류

  ①양적 접근 : 정확한 수치적 자료를 이용해 좌표평면이나 좌표공간에 이를 정확하게 그려내어 변화의 특징을 설명하고 예측하는 것

  ②질적 접근 : 수량화되지 않은 상태로서, 개략적으로 표현하고 설명하는 것. 전체적 변화를 파악하는 데 유용.

 

 -바람직한 그래프 지도방안 : 질적 접근 → 양적 접근

 그래프를 처음 다루는 단계에서는 비수치적이고 개략적인 형태의 그래프를 그려보고 해석하는 활동에 주목하고, 정교화 단계에서 수치적이고 좀 더 정확한 표현의 단계로 전환해야 한다. (해석을 통한 그래프의 추측 후 정교화)

 

 ○ 번역활동에 따른 함수 지도

~을        ＼        ~로	상황언어적 표현	표	그래프	공식
상황언어적 표현	-	측정하기	그래프 개형 그리기	모델링
표	읽기	-	점찍기	공식 알아내기
그래프	해석하기	점의 좌표 읽기	-	곡선 알아내기
공식	매개변수 인식하기	계산하기	그래프 개형 그리기	-

 

 

○ '교수학적 현상학에 따른 함수 지도'와 '구조주의적 관점에 따른 함수 지도' (순서 : 현상을 언제 다루는가?)

 ① 교수학적 현상학에 따른 함수 지도

 : 다양한 현상에 대한 직관적 경험 → 종속성의 특징 파악 → 보다 구체적이고 분석적으로 다루기 위해 표, 그래프, 식 등과 연결 →구체적인 함수 이름 학습(정비례와 반비례, 일차함수, 이차함수, 삼각함수, 지수함수, 임의의 대응 등) → 좀 더 구체적 특성 파악하게 함→함수란 무엇인지에 대한 논의를 통해 적절한 함수 개념 도입

 : 다양한 현상을 출발점으로하여 점차적으로 함수의 형식적 지도로 나아가는 방향

 

 ② 구조주의적 관점에 따른 함수 지도

 : 대응을 통해 함수 정의 → 정의역, 치역, 공변역 등을 지도 → 함수의 예로 특정한 함수를 다룸 → 응용문제로 몇 가지 함수 현상을 다룸

 

∴ 무조건적으로 좋은 관점은 없다. 가능하다면 다양한 현상을 다루어 보고 이를 함수로 받아들이는 경험이 필요하다.

 

 

○ 교과서 이해

 1) 함수 지도의 전 단계

  

정비례와 반비례의 도입 시기	7차	2007	2009	2015
초등학교 5,6학년군		●	●
중학교 1학년	●			●

 

 2) 함수 개념 도입

  7차 : 함수 개념의 도입은 비례 관계를 이용

  2007~2009 : 중1, 실생활에서 한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양사이의 대응 관계, 여기서 대응은 직관적인 의미

  2015 : 중2, 함수의 정의와 그에 대한 대응의 의미는 2007, 2009와 동일.